纵观数学的发展史，可以发现，计算（数值计算和符号计算）和证明（包括公式推演）自始至终都是数学活动的两种主要方式。[1]
这是中国社会科学院研究生院梁芳博士，在对计算和数学考察后给出的总结。
源自自然数的“计算”，与从几何而来的“证明”，在相当长的时期是相互独立的，笛卡尔的解析几何将两者统一，将证明化解为计算。在计算机时代，包括中国当代数学家吴文俊（～）的“吴方法”在内的一系列算法，则进一步将演绎证明转换为计算机的计算，被称为“数学机械化”。[1]正是历史上数学大师们的思维，让计算和证明之间的界线越来越模糊，以至于今天计算与证明的区别已经不再是常识，而成了数学哲学的专业知识了。然而，在历史上，计算与证明，分别造就了不同的思维方式，极大地丰富了人类思想的形态。
在古希腊的时代，源于埃及的几何学让古希腊的数学显得更加严谨，强化了人类对世界可知的信念。这是古希腊的幸运，也是全人类的幸运。在中国历史上，虽然也有田地划分之类与几何相关的工作，并没有因此诞生出几何学。我们无从确知其中的原因，作为一种猜测，或许是九宫格的井田制简化了土地丈量，无需更复杂的几何方法。尽管在十三世纪《几何原本》就已传入中国宫廷，但是直到十七世纪初，明末科学家，上海人徐光启翻译《几何原本》，中国民间才开始正式接触几何。[2]此后，又历经近年时间，直到进入二十世纪，几何才逐渐受到中国人的重视。几何是逻辑证明最好的载体，理解了几何，也就理解了演绎证明的内涵。
几何的“证明”如此严密而确实，促使科学家总是不断去证明世界的确定性，然而自然似乎有自己的幽默，时不时地展示出自己的随机性。
在经历了几百年的科学洗礼之后，我们已经形成这样的认知：宇宙星球在亿万年时间里，总是走着相同的足迹。而在牛顿看来，这些足迹又恰好遵循某个合适的数学函数。科学家们为星球穿上了一双魔鞋，它们再不能任性了，即便是在我们无拘无束的思维领域。
但是，在自然界和人类社会中，我们却感知到无穷无尽的偶然性与不确定性。
在中国古代有“失之毫厘，差以千里”的说法。英国则流传着马蹄钉的故事：失了一颗铁钉，丢了一只马蹄铁，丢了一只马蹄铁，折了一匹战马，折了一匹战马，损了一位国王，损了一位国王，输了一场战争，输了一场战争，亡了一个帝国。在某些情况下，以“不变”的公理和假设出发，得到的却是“变”的结论。尽管这个结论看似矛盾，但是这个命题却是真的！而这也导致了新一类科学：混沌学的兴起。
十九世纪三十年代，英国数学物理学家哈密顿（W.R.Hamilton，～）把动力学系统划分为“可积”和“不可积”两大类。而经典的牛顿理论实际上只是关于“可积”系统的理论。而一般的动力系统，包括三体问题，都是“不可积”的。这一发现实际上已经宣称了动力学系统除了“确定性”以外还有“随机性”。被公认为创立混沌学的学者是伟大的法国数学家庞加莱（H.Poincaré，～）。十九世纪末，他在研究三体问题时，发现了三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。这说明确定性系统具有内在的随机性。[4]
到了20世纪60年代，美国气象学家洛伦兹（～）在使用计算机模拟天气时，他意外地发现，对于天气系统，哪怕初始条件的微小改变也会显著影响运算结果。就好像一只南美洲亚马孙河边热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇几下翅膀，就有可能在两周后引起美国得克萨斯的一场龙卷风。他的工作结果最初在年发表，成为“蝴蝶效应”一词的起源，但是当时的人们完全没有意识到这个词汇，会成为一个常识被世界所熟知。[6]
到年，华人李天岩（～）和他的导师JimYorke发表了题为《周期3蕴含混沌》的论文。该沦为提出了Li-Yorke定理：设f（x）是[a，b]上的连续自映射，若f（x）有3周期点，则对任何正整数n，f（x）有n周期点。用李天岩的话来说，只要有周期3，系统就变的“乱七八糟”，任何周期都可能出现。他们师生两人用了“混沌（chaos）”一词来表示“乱七八糟”，而这个命名得到全世界的共鸣，于是混沌学就以此为名了。[7]
以形式逻辑为基础的精确的数学系统，在理论上会呈现一种无序状态，以至于无法使用“证明”这样的手段去预测未来状态，只能以走一步看一步方法去寻找未来状态，“计算”成为混沌之中预测未来的主要数学手段。
混沌学从数学的角度发现并证实了即使在“确定”的世界里也暗藏着随机性。而“分形几何”的发现，揭示了物理世界的另一种随机性，也为混沌研究开辟了更为广阔的空间。
年美籍数学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot，～）在《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》的著名论文。在没有建筑物或其他参照物时，在空中拍摄的公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去十分相似。而海岸线的长度取决于用多大的量度去测量。在航拍图片上，一段海岸可能就是一段直线。而在更近的观察距离，直线又变成了复杂的曲线，如果观察距离不断缩小，最终测量出来的海岸线长度将可能是无限长。曼德布罗特认为海岸线之所以有这样的特性，是因为海岸线既不是一维的线，也不是二维的面，而是介于一维和二维之间的分数维度。年，他创造了Fractal这个英文、法文、德文共用的词，中文一般翻译为“分形”。[8]
由此，有了分形几何学（fractalgeometry）。在此基础上，形成了研究“分形性质”及其应用的科学，称为分形理论（fractaltheory）。
一般地认为，分形应具有“精细的结构”、“无限不规则”、“自相似”、“分形维数大于拓扑维数”、“可迭代产生”等性质。在欧氏几何、三角学、微积分学中我们能够用直线、圆、抛物线等其他简单曲线来建立现实世界中的形状模型。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至N维的虚拟空间等，它们所描述的几何对象是规则的和光滑的。而在自然界中存在着大量的复杂事物：蓝天上风采万千的云彩、地面上雄浑婉约的山形、大洋回转曲折的海岸线，还有动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管等等。面对这些事物和现象，传统几何学显得束手无策，没有哪一种几何学能更好地描述这些自然形态，而分形几何承担起了这样的任务。[9]
混沌与分形是“不确定性”的另一种表现方式，混沌是在时间维度展现了世界的复杂性和随机性，分形则是在空间维度上展现了世界的复杂性和随机性。
混沌与分形向我们展示了无机物理世界的不确定性，而更为常见的不确定性则是由有机生命展示出来的特征。描述有机生命特征的“计算”工具则又是另一类数学。
被公认为“计算机之父”的美籍匈牙利人冯诺依曼（～），是人类历史上当之无愧的奇才之一。冯诺依曼晚年为他的计算机理论做了说明：他的理论是为了研究计算机和自然系统（譬如：细胞、神经系统、大脑）的控制、信息与逻辑方面的问题。实际上，现代计算机的诞生，是冯诺依曼对生物系统的信息过程做了大量研究的结果。或者说，计算机是仿生学的成果。[10]计算机进行“计算”的过程与DNA自我复制完成生物体构建的过程非常相似。
而年之后，冯诺依曼继续对生命过程的仿生研究，采用元胞自动机模拟生命繁殖过程，更是开创了一类新数学的分支。[11]这个数学分支的研究如此超前，一直以来受到的